Racionálne lomené funkcie

V nasledujúcich príkladoch budeme vyšetrovať priebeh racionálne lomených funkcií a kresliť ich grafy. Sú to funkcie definované predpisom $$y = \frac{P(x)}{R(x)},$$ kde $P(x)$ a $R(x)$ su polynómy, pričom polynóm v menovateli nie je nulový polynóm.

Pri vyšetrovani priebehu každej takejto funkcie nás tu zaujímajú predovšetkým tieto informácie:

  • obor definície funkcie;
  • intervaly, na ktorých je funkcia monotónna;
  • asymptoty grafu funkcie;
  • globálne a lokálne extrémy funkcie;
  • nulové body funkcie.

V niektorých úlohach bude treba zostrojiť dotyčnicu grafu funkcie vo vybranom bode.

In [1]:
import numpy as np
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
from maux import *

Príklad

Vyšetrenie priebehu a nakreslenie grafu funkcie $$y = \frac{x^2}{x^2-1}$$

Poznámka. Všimnime si, že platí $$ \frac{x^2}{x^2-1} = 1 + \frac{1}{(x-1)(x+1)} = 1 + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)} \\ \frac{x^2}{x^2-1} = \frac{1}{1-\frac{1}{x^2}} . $$

In [2]:
#### vstupné údaje
def f(X): return X** 2 / (X ** 2 - 1)
X = np.linspace(-3, 3, 120+1)

X1, X2, X3 = X[X < -1], X[(X > -1) & (X < 1)], X[X > 1] # čísla -1, 1 nepatria do oboru definície
Y1, Y2, Y3 = f(X1), f(X2), f(X3)
#with np.errstate(divide='ignore'): Y1, Y2, Y3 = f(X1), f(X2), f(X3)

#### obrázok s dvoma diagramami
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(18, 6)

### 1. diagram
init_subplot(ax1)
ax1.set_title(r"Graf funkcie $y = \dfrac{x^2}{x^2-1}$")

## graf funkcie
XY1 = ax1.plot(X1, Y1)
ax1.plot(X2, Y2, c=XY1[0].get_color())
ax1.plot(X3, Y3, c=XY1[0].get_color())

### 2. diagram
init_subplot(ax2)
ax2.set_title("Priebeh funkcie")

## intervaly, na ktorých je funkcia rastúca
XY1 = ax2.plot(X1, Y1, label="rastúca")
X21 = X2[X2 <= 0]
Y21 = f(X21)
#with np.errstate(divide='ignore'): Y21 = f(X21)
ax2.plot(X21, Y21, c=XY1[0].get_color())

## intervaly, na ktorých je funkcia klesajúca
X22 = X2[X2 >= 0]
Y22 = f(X22)
#with np.errstate(divide='ignore'): Y22 = f(X22)
XY22 = ax2.plot(X22, Y22, label="klesajúca")
ax2.plot(X3, Y3, c=XY22[0].get_color())

## asymptota so smernicou v bode ±∞
Ax1 = X
Ay1 = np.ones(len(Ax1))
ax2.plot(Ax1, Ay1, 'k--', lw=1, label="asymptota")

## asymptota bez smernice v bode -1
Ay2 = np.linspace(-6, 8, 140+1)
Ax2 = np.ones(len(Ay2))*(-1)
ax2.plot(Ax2, Ay2, 'k--', lw=1)

## asymptota bez smernice v bode 1
Ay3 = np.linspace(-6, 8, 140+1)
Ax3 = np.ones(len(Ay3))
ax2.plot(Ax3, Ay3, 'k--', lw=1)

## extrémy
ax2.plot(0, 0, 'ro', label="lokálne maximum")

ax2.legend()
ax2.grid()

### spoločné nastavenie pre oba diagramy
plt.xticks(np.linspace(-3, 3, 6+1))
plt.ylim(-6, 8)

### archivácia obrázka
#plt.savefig("ex02_2.png")

### samotné zobrazenie
plt.show()
plt.close('all')

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{1-2x}{3x^2}$$

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{x^2-1}{x^2+1}.$$

Úloha (5 bodov)

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{x^2+1}{x^2-1}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = -2$.

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{x^2+1}{x^2+2x+3}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = 0$.

Úloha (5 bodov)

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{x^2+1}{2x}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = 0.5$.